Формальна Йогачара #2

Суперпростір

В цій статті у формі посилань на статті дається визначення суперточки, суперлінії, суперсфер та супермноговидів, їх розшаруваня та когомології. Слово "супер" означає ℤ_𝟸 градуйовані супералгебри Лі, які містять два вектори координат, з парними та непарними індексами та використовуються в теорії суперструн. Показується еволюція емерджентного суперпростору та всіх його струнних теорій (Type I, IIA, IIB, SO(32), E₈xE₈).

Супералгебри Лі

Супер-алгебри Лі як необхідний пререквізит суперсиметричних бозонно-ферміонних геометрій. Категорно, супералгебра Лі — це внутрішній обʼєкт в симетричній моноїдальній категорії (SMC) ℤ_𝟸 градуйованих суперпросторів sVect = (Vect^ℤ/2,⨂_k,Ꚍ) 𝔤. Морфізми в цих категоріях — дужки Лі, такі що: 1) [a,b] = -(-1)^𝛼𝛽[b,a]; 2) [a,[b,c]]=[[a,b],c]+(-1)^𝛼𝛽[b,[a,c]]. 𝛼,𝛽 ∈ ℤ/𝟸, a ∈ V_𝟷, b ∈ V_𝟸, Vect^ℤ/𝟸=V_𝟷⨂V_𝟸.

Суперсфери та розшарування Хопфа

Крім суперточки в ℤ_𝟸 градуйованих, [точніше над градуйованими просторами які визначаються прямим декартовим добутком цілих чисел суперсиметричних алгебрах (супералгебрах) Лі нас будуть цікавити класичні розшарування Хопфа, та суперсфери з їх використанням. При цьому форма точних послідовностей які визначають розшарування не змінюються, але змінюються їх когомології.

Так, в нас є проблема з відсутністю SL(2) на октаніонах, тому в супергеометрії ми використовуємо накриваючі групи спінів лоренцевих груп в сигнатурі Мінковського (9,1) для останнього розшарування Хопфа.

Супермноговиди

Окрім суперточки, суперлінії, суперсфер, нас будуть цікавити також супермноговиди довільної форми.

Когомології де Рама

За теоремою де Рама існує ізоморфізм між групами когомологій де Рама H_dR^k(M) та групами когомологій H^k(M;ℝ) для будь-якого гладкого многовида. З комутативної діаграми ізоморфізмів випливає, що спектральні послідовності, що ґрунтуються на гомологічних групах сфер, можуть бути адаптовані до суперсфер після спеціалізації на конкретному полі коефіцієнтів.

Когомології Шевалʼє-Ейленберга

Традиційно перед визначенням когомологій Шевалʼє-Ейленберга, спочатку дають визначення алгебрам Шевалʼє-Ейленберга CE(𝔤) як супералгебрам Грасмана в дуальному суперпросторі ∧ ○ 𝔤^*, що має диференціал d_𝔤 := [_,_]^* : 𝔤^* ⟶ 𝔤^* ∧ 𝔤^*, що розширюється на весь дуальний простір за допомогою градуйованості Лейбніца.

Когомології BRST

У фізиці, супералгебри Шевалʼє-Ейленберга CE(𝔤, N) дії алгебри Лі або L-∞ алгебри групи калібрування G на простір полів N називається BRST комплексом на честь Беккі, Руе, Стора, Тютіна.

Емерджентний суперпростір

Суперточка ℝ^0|N визначається для всіх N. Суперточка ℝ^0|1має природнє розширення до суперлінії ℝ^1|1=ℝ^1,0|1. Максимальний інваріант центрального розширення суперточки ℝ^0|2 є трьохвимірна сумер-алгебра Мінковського ℝ^2,1|2.

Далі простір розвивається по сферам згідно конструкції Келі-Діксона та розшарувань Хопфа, набуваючи свого повного змісту у обʼєднуючій М-теорії:

1). ℝ^2,1|2 ⟶ ℝ^2,1|2+2;
2). ℝ^3,1|4 ⟶ ℝ^3,1|4+4;
3). ℝ^5,1|8 ⟶ ℝ^5,1|8+8̅;
4). ℝ^9,1|16 ⟶ ℝ^{9,1|16+1̅6̅}.

IIB ⟶ ℝ^9,1|16+16 ⟵ ℝ^9,1|16 ⟶ ℝ^{9,1|16+1̅6̅} ⟵ IIA. Максимальний інваріант центрального розширення простору Мінковського IIA типу ℝ^9,1|16+16 є ℝ^10,1|32 — 11-вимірна М-теорія з тридцятьма двома додатковими ферміонними параметрами.

Присвячую цю ненаписану статтю своїй єдиній учениці Йогачари та на благо всіх мислячих істот.